我的新偶像-戈德爾 Kurt Friedrich Gödel

in cn •  6 months ago  (edited)

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戈德爾 (Kurt Friedrich Gödel) ,在1931年發表了「不完備定理」(Incompleteness Theorem)

哈佛大學在1952年即譽為是該世紀最重要的數學真理,其深遠之影響性可見一斑。

駑鈍如我,當然不敢奢望能懂,但是努力啃過科普版之後,發現還真是頗有啟發的感覺啊~~~ 但可能多半是自己在腦補吧!? 哈哈~~~~

據說此定理對於數學、計算機和哲學都有深遠的影響喔,讓我整理別人說的內容,來簡介一下吧~~~

不完備定理背景

1927年,荷蘭數學家布勞威爾 (Brouwer) 對以往古典邏輯的確實性提出挑戰,特別是對所謂的排中律 (Law of the excluded middle),即,對任一命題「A」,A或A之否定命題必有一為真, 他認為我們不可無條件的接受,布饒兒堅持有其他的可能性, 因此也就有了數學哲學中的直觀主義 (Intuitionism) 學派,若接受了此一說法,連帶的,數學中許多的證明將不再被接受,特別是所謂存在性的證明。

上面這段話就是在說,如果你透過證明反命題為偽來間接證明命題為真的話,則布勞威爾要挑戰你,說這樣的證明方式是有問題的,世界不是非黑即白的!

這樣還得了!數學家們當然要跳腳了~~~~ 因此,一位大數學家希伯特,就推動了「希伯特計劃」(Hilbert program),希望以有限性 (finitary)、組合式 (combinatorial) 的方法,由簡單的理論開始,先證明「數論」有一致性 (consistency),即「數論」中不包含矛盾, 再以「數論」為基礎證明「分析」有一致性,再一步步往前推, 至終可以證明數學中不包含矛盾了... 只可惜,他被戈德爾的不完備定理給打臉了....

不完備定理告訴我們,任何一個具有一致性的公設化系統皆是不完備的!任一個足夠強的公設系統,皆無法證明它本身的一致性,所以要證明數學具有一致性,即數學中不會產生矛盾,你將無法由數學中得到,你必須靠數學以外的東西,也許是你個人的哲學或神學,來相信數學是有意義的,這可說是粉碎了「希伯特計劃」....

不完備定理內容

一般所謂的不完備定理,分為兩個部份:

第一不完備定理
任何一個足夠強的一致公設系統,必定是不完備的。
即除非這個系統很簡單,(所以能敘述的不多),或是包含矛盾的, 否則必有一真的敘述不能被證明。

第二不完備定理
任何一個足夠強的一致公設系統,必無法證明本身的一致性。
所以除非這個系統很簡單,否則你若在此系統性,證明了本身的一致性,反而已顯出它是不一致的。

戈德爾的證明過程相當複雜,而其中最核心的概念,是古典希臘哲學中一個有名的詭論 (paradox):說謊者詭論。

大意是這樣,西元前6世紀希臘時代的一個詩人哲學家Epimenides說了一句很有名的話:「所有的克里特島人都是說謊的。」這句話有名倒不是因為它是真理,正好相反,因為它一定是錯的,為什麼是錯的呢?因為說這句話的Epimenides就是克里特島人,同樣一句話,別人說也可能是對的,但是由克里特島人來說,就一定是錯的,為什麼呢?若這句話是真的,則Epimenides沒有說謊,和這句話矛盾,所以這句話是假的。

真正的證明,想當然我不會懂,我想你也不會懂,因此以下省略1000字....

讓我們來說一下不完備定理的影響:以往數學家只有兩條路可走,證明是真的,或證明是假的,如今又多了兩條路,不能被證明是真的,和不能被證明是假的。但要提醒注意的是,後兩者彼此並不相斥,集合論中有名的「連續統假說」(Continuum Hypothesis),即被證明以現有的集合論公設,無法證明它為假(戈德爾1936年的結果),亦無法證明它為真(Paul Cohen 1963年的結果)。

小結

唉,時間不早,這些東西太硬,我留點下次說....

但名人總得伴隨八卦一下.... 來一點吧~~~~

戈德爾24歲時,就完成此一定理,並獲得維也納大學博士學位。他是個要求嚴格的人,很多的想法在生前都沒有正式發表甚至記錄,要逝世後從其手稿找出。不喜歡談論自己或受到注目,亦討厭旅行。

妻子 Adele Nimbursky 比哥德爾大六歲。兩人認識時,Adele 已婚且在夜總會工作。他們的婚姻遭到哥德爾家人反對,但有情人終成眷屬。

在普林斯頓時,哥德爾和愛因斯坦成了很好的朋友。後人常將他們比較。哥德爾和愛因斯坦都在自己的範疇有極為重大的貢獻,很聰明,有好奇心,直率。但愛因斯坦性格開朗外向,這點和哥德爾大相逕庭。愛因斯坦的死對哥德爾的情緒有很大打擊。

參考資料

待續..........

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好複雜。不知道要怎麼證明。

光是有想證明的企圖,我就無比敬佩了.... ^0^

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